Sistem Bilangan Biner Bilangan Desimal Bilangan Oktal dan Bilangan Hexsadesimal
SISTEM BILANGAN
Sistem
bilangan adalah kode atau simbol yang digunakan untuk menerangkan sejumlah hal
secara detail. Sistem bilangan adalah bahasa yang berisi satu set pesan
simbul-simbul yang berupa angka dengan batasan untuk operasi aritmatika penjumlahan,
perkalian dan yang lainnya. Pada sistem bilangan terdapat bilangan integer dan
bilangan pecahan dengan titik radix “.”.
(N) r =
[ (bagian integer . bagian pecahan) r)
Titik radix
Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4 Jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu
: Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8)
dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelesan
mengenai 4 Sistem Bilangan ini :
2.1. Sistem Bilangan Biner
Sistem
bilangan biner adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan hanya
menggunakan dua simbol angka yaitu ‘0’ dan ‘1’, bilangan ini sering disebut
dengan sistem bilangan berbasis atau radix 2 .Sistem bilangan biner digunakan
untuk mempresentasikan alat yang mempunyai dua keadaan operasi yang dapat
dioperasikan dalam dua keadaan ekstrim. Contoh switch dalam keadaan terbuka
atau tertutup, lampu pijar dalam keadaan terang atau gelap, dioda dalam keadaan
menghantar atau tidak menghantar, transistor dalam keadaan cut off atau
saturasi, fotosel dalam keadaan terang atau gelap, thermostat dalam keadaan
terbuka atau tertutup, Pita magnetik dalam keadaan magnet atau demagnet.
2.2. Sistem Bilangan Desimal.
Sistem
bilangan desimal adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan
menggunakan sepuluh simbol angka yaitu ‘0’ ,‘1’, ‘2’,’3’,’4’,’5’,’6’,’7’,’8’
dan ‘9’ bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix
10. Sistem bilangan desimal kurang cocok digunakan untuk sistem digital karena
sangat sulit merancang pesawat elektronik yang dapat bekerja dengan 10 level
(tiap-tiap level menyatakan karakter desimal mulai 0 sampai 9)
Sistem bilangan desimal adalah positional-value system,dimana nilai dari suatu digit tergantung
dari posisinya. Nilai yang terdapat pada kolom
ketiga pada Tabel 2.1., yaitu A, disebut satuan,
kolom kedua yaitu B disebut puluhan, C disebut ratusan, dan seterusnya. Kolom
A, B, C menunjukkan kenaikan pada eksponen dengan basis 10 yaitu 100 =
1, 101 = 10, 102 = 100. Dengan cara yang sama,
setiap kolom pada sistem bilangan biner yang
berbasis 2, menunjukkan eksponen dengan
basis 2, yaitu 20 = 1, 21 = 2, 22=
4, dan seterusnya.
Tabel 2.1. Nilai Bilangan Desimal dan
Biner
Kolom decimal |
Kolom biner |
||||
C 102 = 100 (ratusan) |
B 101 = 10 (puluhan) |
A 100 = 1 (satuan) |
C 22 = 4 (empatan) |
B 21 = 2 (duaan) |
A 20 = 1 (satuan) |
Setiap digit biner disebut bit; bit paling kanan
disebut least significant bit (LSB), dan bit paling kiri
disebut most significant bit (MSB).
Untuk membedakan bilangan pada sistem yang berbeda
digunakan subskrip. Sebagai contoh 910menyatakan bilangan sembilan
pada sistem bilangan desimal, dan 011012 menunjukkan 01101 pada
sistembilangan biner. Subskrip tersebut sering diabaikan
jika sistem bilangan yang dipakai sudah jelas.
2.3. Sistem Bilangan Oktal.
Sistem
bilangan oktal adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan
menggunakan delapan simbol angka yaitu ‘0’ ,‘1’, ‘2’,’3’,’4’,’5’,’6’,dan
’7’ bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 8.
Sistem bilangan oktal digunakan sebagai alternatif untuk menyederhanakan
sistem pengkodean biner. Karena 8 = 23, maka satu (1) digit oktal
dapat mewakili tiga (3) digit biner.
2.4. Sistem Bilangan Heksadesimal.
Sistem
bilangan heksadesimal adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan
menggunakan 16 simbol yaitu ‘0’ ,‘1’, ‘2’,’3’,’4’,’5’,’6’,’7’,’8’,’9’,
’A’,’B’, ’C’,’D’,’E’, dan ‘F’ bilangan ini sering
disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 16. Identik dengan sistem
bilangan oktal, sistem bilangan heksadesimal juga digunakan untuk
alternatif penyederhanaan sistem pengkodean biner. Karena 16 = 24,
maka satu (1) digit heksadesimal dapat mewakili empat (4) digit biner.
2.5. Konversi Bilangan
2.5.1. Konversi
bilangan desimal ke biner.
Cara untuk mengubah bilangan desimal ke biner adalah dengan membagi bilangan desimal yang akan diubah, secara
berturut-turut dengan pembagi 2, dengan memperhatikan
sisa pembagiannya. Sisa pembagian akan bernilai 0 atau 1, yang akan membentuk
bilangan biner dengan sisa yang terakhir menunjukkan MSBnya. Sebagai contoh,
untuk mengubah 5210 menjadi bilangan biner, diperlukan
langkah-langkah berikut :
52/2 = 26 sisa 0, LSB
26/2 = 13 sisa 0
13/2 = 6 sisa 1
6/2 = 3 sisa
0
3/2 = 1 sisa
1
½
= 0 sisa 1, MSB
Sehingga bilangan
desimal 5210 dapat diubah menjadi bilangan biner
1101002.
Cara di atas juga bisa digunakan untuk mengubah sistem
bilangan yang lain, yaitu oktal atau heksadesimal.
Tabel 2.2. Daftar Bilangan Desimal dan
Bilangan Biner Ekivalensinya
Desimal |
Biner |
||
C (MSB) (4) |
B (2) |
A (LSB) (1) |
|
0 1 2 3 4 5 6 7 |
0 0 0 0 1 1 1 1 |
0 0 1 1 0 0 1 1 |
0 1 0 1 0 1 0 1 |
2.5.2. Konversi
bilangan desimal ke oktal.
Teknik pembagian yang berurutan dapat digunakan untuk
mengubah bilangan desimal menjadi bilangan oktal. Bilangan desimal yang akan
diubah secara berturut-turut dibagi dengan 8 dan sisa pembagiannya harus selalu
dicatat. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 581910 ke
oktal, langkah-langkahnya adalah :
5819/8 =
727, sisa 3, LSB
727/8 =
90, sisa 7
90/8 =
11, sisa 2
11/8 =
1, sisa 3
1/8
= 0,
sisa 1, MSB
Sehingga 581910 =
132738
2.5.3. Konversi
bilangan desimal ke heksadesimal.
Teknik pembagian yang berurutan dapat juga digunakan untuk mengubah bilangan desimal menjadi
bilangan heksadesimal. Bilangan desimal yang akan diubah secara
berturut-turut dibagi dengan 16 dan sisa pembagiannya
harus selalu dicatat. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 340810 menjadi
bilangan heksadesimal, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
3409/16 = 213,
sisa 110
= 116, LSB
213/16 = 13,
sisa 510
= 516
13/16 = 0,
sisa 1310
= D16, MSB
Sehingga, 340910 =
D5116.
2.5.4. Konversi
bilangan biner ke desimal.
Seperti
yang terlihat pada tabel 2.1. sistem bilangan biner adalah suatu sistem
posisional dimana tiap-tiap digit (bit) biner mempunyai bobot tertentu
berdasarkan atas posisinya terhadap titik biner seperti yang ditunjukkan pada
tabel 2.3.
Tabel 2.3. Daftar Bobot tiap bit Bilangan Biner dan Ekivalensinya dalam
desimal
24 |
23 |
22 |
21 |
20 |
2-1 |
2-2 |
2-3 |
Bobot tiap-tiap bit biner |
Titik
biner
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
0.5 |
0.25 |
0.125 |
Ekivalensinya dalam
desimal |
Titik
desimal
Oleh
karena itu bilangan biner dapat dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara
menjumlahkan bobot dari masing-masing posisinya yang bernilai 1.
Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan biner
1100112 menjadi bilangan desimal
dapat dilakukan sebagai berikut:
1
1 0
0 1
1
Biner
25 +
24 +
21 + 20
32
+ 16
+
2 + 1 = 51
Desimal
Sehingga
bilangan biner
1100112 berubah menjadi bilangan desimal
5110.
Tabel 2.4. adalah contoh perubahan beberapa bilangan
biner menjadi bilangan desimal.
Tabel 2.4. Contoh Pengubahan Bilangan
Biner menjadi Desimal
Biner |
Kolom biner |
Desimal |
|||||
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
||
1110 1011 11001 10111 110011 |
- - - - 1 |
- - 1 1 1 |
1 1 1 0 0 |
1 0 0 1 0 |
1 1 0 1 1 |
0 1 1 1 1 |
8 + 4 + 2 +
0 =14 8 + 0 + 2
+ 1 =11 16+ 8 + 0 + 0 + 1 =25 16+ 0 + 4
+ 2 + 1 =23 32+16+ 0 + 0
+ 2 + 1 = 51 |
Cara
lain untuk mengkonversikan bilangan biner menjadi bilangan desimal dapat
dilakukan dengan cara menjumlahkan angka 2 dengan pangkat koefisien biner yang
berharga 1. Sebagai contoh, untuk mengubah
bilangan 101112 menjadi bilangan desimal, dilakukan dengan
langkah-langkah sebagai berikut :
101112 =
1x 24 + 0x 23 + 1x 22 + 1x 21 +
1x 20 = 2310
2.5.5. Konversi
bilangan biner ke oktal.
Konversi dari bilangan biner ke bilangan oktal
dilakukan dengan mengelompokkan setiap tiga digit biner dimulai dari digit
paling kanan(LSB). Kemudian, setiap kelompok
diubah secara terpisah ke dalam bilangan oktal.
Sebagai contoh, bilangan 111100110012 dapat dikelompokkan menjadi: 11 110 011 001,
sehingga:
112 = 38,
MSB
1102 = 68
0112 = 38
0012 = 18,
LSB
Jadi, bilangan biner 111100110012 apabila diubah menjadi
bilangan oktal = 36318.
2.5.6. Konversi
bilangan biner ke heksadesimal.
Bilangan biner dapat diubah menjadi bilangan heksadesimal
dengan cara mengelompokkan setiap empat digit dari bilangan biner tersebut
dimulai dari digit paling kanan (LSB). Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke
dalam bilangan heksadesimal.
Sebagai contoh, 01001111010111102 dapat dikelompokkan menjadi:
0100 1111 0101 1110. Sehingga:
01002 = 416,
MSB
11112 = F16
01012 = 516
11102 = E16,
LSB
Dengan demikian,
bilangan 01001111010111102 = 4F5E16.
2.5.7. Konversi bilangan oktal ke desimal.
Sistem
bilangan oktal adalah suatu sistem posisional dimana tiap-tiap digit oktal
mempunyai bobot tertentu berdasarkan atas posisinya terhadap titik oktal
seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.5.
Tabel 2.5. Daftar Bobot tiap digit bilangan oktal dan ekivalensinya dalam
desimal
84 |
83 |
82 |
81 |
80 |
8-1 |
8-2 |
Bobot tiap-tiap digit oktal |
Titik
oktal
4096 |
512 |
64 |
8 |
1 |
0.125 |
0.015625 |
Ekivalensinya dalam
desimal |
Titik
desimal
Oleh
karena itu bilangan oktal dapat dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara
menjumlahkan bobot kali nilai-nilai dari masing-masing posisinya.
Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan oktal
3728 menjadi bilangan desimal
dapat dilakukan sebagai berikut:
3
7
2
Oktal
3x82 +
7x81 + 2x80
192
+ 56 + 2
=
250
Desimal
Sehingga
bilangan oktal
3728 berubah menjadi bilangan desimal
25010.
2.5.8. Konversi
bilangan oktal ke biner.
Konversi
dari bilangan oktal ke bilangan biner dilakukan dengan cara mengubah setiap digit pada bilangan oktal secara terpisah menjadi
ekivalen biner 3 digit, seperti
yang terlihat pada Tabel 2.6.
Tabel 2.6. Ekivalen setiap digit bilangan oktal menjadi
3 bit bilangan biner
Digit oktal |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Ekivalen biner 3 bit |
000 |
001 |
010 |
011 |
100 |
101 |
110 |
111 |
Sebagai contoh, bilangan oktal 35278 dapat diubah menjadi
bilangan biner dengan cara sebagai berikut:
38 = 0112, MSB
58 = 1012
28 = 0102
78 = 1112, LSB
Sehingga bilangan
oktal 35278 sama dengan bilangan biner 011 101 010 1112.
2.5.9. Konversi
bilangan oktal ke heksadesimal.
Konversi
dari bilangan oktal ke bilangan heksadesimal dapat dilakukan dengan
cara mengubah bilangan oktal ke bilangan biner atau ke bilangan desimal
terlebih dahulu. Sebagai contoh, bilangan
oktal3278 dapat diubah menjadi
bilangan heksadesimal dengan cara diubah dulu ke bilangan desimal, sebagai berikut:
Oktal
3 2
7
Desimal
3x82 + 2x81 +
7x80 = 215
Selanjutnya hasil bilangan desimal diubah ke bilangan heksadesimal,
215/16 =
13, sisa 710 = 716, LSB
13/16 = 0, sisa 1310 = D16, MSB
Sehingga, 3278
= 215 10 = D716.
Cara
lain diubah dulu ke bilangan biner, sebagai berikut:
Oktal
3
2
7
Biner
011
010 111
Selanjutnya
hasil bilangan biner dikelompokkan setiap empat bit dimulai dari digit paling kanan(LSB). Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke
dalam bilangan heksadesimal.
Biner
0
1101 0111
Heksadesimal
0
D
7
Sehingga, 3278 = 110101112 = D716.
2.5.10. Konversi bilangan heksadesimal ke
desimal.
Sistem
bilangan heksadesimal adalah suatu sistem posisional dimana tiap-tiap digit
heksadesimal mempunyai bobot tertentu berdasarkan atas posisinya terhadap titik
heksadesimal seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.7.
Tabel 2.7. Daftar Bobot tiap digit bilangan heksadesimal dan ekivalensinya dalam
desimal
162 |
161 |
160 |
16-1 |
16-2 |
Bobot tiap-tiap digit heksadesimal |
Titik
heksadesimal
256 |
16 |
1 |
0.0625 |
0.00390625 |
Ekivalensinya dalam
desimal |
Titik
desimal
Oleh
karena itu bilangan heksadesimal dapat dikonversikan ke bilangan desimal dengan
cara menjumlahkan bobot kali nilai-nilai dari masing-masing posisinya.
Sebagai contoh, bilangan heksadesimal 152B16 dapat diubah menjadi bilangan desimal dengan carasebagai berikut:
152B16
= (1 x 163) + (5 x 162) + (2 x 161)
+ (11 x 160)
= 1 x 4096 + 5 x 256 + 2 x 16 + 11 x 1
= 4096 + 1280 + 32 + 11
= 541910
Sehingga, 152B16
= 541910
2.5.11. Konversi bilangan
heksadesimal ke biner.
Konversi
dari bilangan heksadesimal ke bilangan biner dapat dilakukan dengan cara
mengubah setiap digit pada bilangan heksadesimal secara
terpisah menjadi
ekivalen biner 4 bit, seperti yang terlihatpada Tabel 2.8.
Tabel 2.8. Ekivalen setiap digit dari bilangan
heksadesimal menjadi 4 bit bilangan biner
Digit Heksadesimal |
Ekivalen biner 4 bit |
0 |
0000 |
1 |
0001 |
2 |
0010 |
3 |
0011 |
4 |
0100 |
5 |
0101 |
6 |
0110 |
7 |
0111 |
8 |
1000 |
9 |
1001 |
A |
1010 |
B |
1011 |
C |
1100 |
D |
1101 |
E |
1110 |
F |
1111 |
Sebagai
contoh, bilangan
heksadesimal 2A5C16 dapat
diubah ke bilangan biner sebagai berikut.
216 = 0010, MSB
A16 = 1010
516 = 0101
C16 = 1100, LSB
Sehingga, bilangan heksadesimal 2A5C16 dapat diubah menjaid bilngan biner
0010 1010 0101 11002.
2.5.12. Konversi
bilangan heksadesimal ke oktal.
Konversi
dari bilangan heksadesimal ke bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara
mengubah bilangan heksadesimal ke bilangan biner atau ke bilangan desimal
terlebih dahulu.
Sebagai contoh, bilangan heksadesimal 9F216 dapat diubah menjadi bilangan oktal dengan cara diubah
dulu ke bilangan desimal, sebagai berikut:
Heksadesimal
9
F
2
Desimal
9x162 + 15x161
+ 2x160 =
2304 + 240
+ 2 = 254610
Selanjutnya
hasil bilangan desimal diubah ke bilangan oktal,
2546/8 = 318,
sisa 210 = 28, LSB
318/8 = 39,
sisa 610 = 68,
39/8 = 4,
sisa 710 = 78,
4/8 = 0,
sisa 410 = 48, MSB
Sehingga, 9F216 = 2546 10 = 47628.
Cara
lain diubah dulu ke bilangan biner, sebagai berikut:
Heksadesimal
9
F
2
Biner
1001 1111
0010
Selanjutnya
hasil bilangan biner dikelompokkan setiap tiga bit dimulai dari digit paling kanan (LSB).Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke
dalam bilangan heksadesimal.
Biner
100
111 110
010
Heksadesimal
4
7
6
2
Sehingga, 9F216 = 1001111100102 = 47628.
2.6. Bilangan Biner Pecahan
Dalam sistem bilangan desimal, bilangan pecahan disajikan dengan menggunakan
titik desimal. Digit-digit yang berada di sebelah kiri titik desimal mempunyai
nilai eksponen yang semakin besar, dan digit-digit yang berada di sebelah kanan
titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin kecil.
Sehingga,
0.110 = 10-1
= 1/10
0.1010 = 10-2‑ =
1/100
0.2 = 2 x
0.1 = 2 x 10-1, dan seterusnya.
Cara yang sama
juga bisa digunakan untuk menyajikan bilangan biner pecahan. Sehingga,
0.12 = 2-1
= ½, dan
0.012 = 2-2‑ =
½2 = ¼
Sebagai contoh,
0.1112
= 1/2 +
1/4 + 1/8
= 0.5 + 0.25 + 0.125
= 0.87510
101.1012 =
4 + 0 + 1+ ½ + 0 + 1/8
= 5 + 0.625
= 5.62510
Pengubahan bilangan pecahan dari desimal ke biner
dapat dilakukan dengan cara mengalikan bagian pecahan dari bilangan desimal
tersebut dengan 2, bagian bulat dari hasil perkalian merupakan pecahan dalam
bit biner. Proses perkalian diteruskan pada sisa sebelumnya sampai hasil
perkalian sama dengan 1 atau sampai ketelitian yang diinginkan. Bit biner
pertama yang diperoleh merupakan MSB dari bilangan biner pecahan. Sebagai
contoh, untuk mengubah 0.62510 menjadi bilangan biner dapat
dilaksanakan dengan
0.625 x 2 = 1.25, bagian
bulat = 1 (MSB), sisa = 0.25
0.25 x 2 =
0.5, bagian bulat
= 0, sisa = 0.5
0.5 x 2 = 1.0,
bagian bulat = 1
(LSB), tanpa sisa
Sehingga,
0.62510
= 0.1012